有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉普拉斯变换的物理意义是什么？
从正则系综配分函数切换到微正则系综态密度或者说谱密度的时候，所用的是拉普拉斯逆变换；反之是拉普拉斯变换。其中核的指数上的复数也很好理解，它经常出现于统计力学中的Lee-Yang理论（由李政道和杨振宁于1952年通过两篇论文建立）：即复化之后的温度，化学势或者外磁场。
他们通过这种复化的方法推导出出了在热力学极限下，系统发生一级或者连续相变的条件（原文是对于自旋系统的）：就像复分析里的branch cut一样，Lee-Yang零点在复平面上聚集成一条线，只有取实数值的物理量在相变是跨过这条线，才会发生一级相变。这些零点解释了为什么一个明明是解析函数的配分函数在相变时却能导致发散的物理量，也给出了一个no-go theorem： 不取热力学极限就不会发生相变；至今这套理论还是研究传统非拓扑相变的利器。有人会说复的物理学量只是数学技巧罢了，但近来有实验表明我们是能观测到Lee-Yang零点的， 跑偏一点，这套理论还衍生出Lee-Yang edge，即高于相变温度时，上述的Lee-Yang零点汇聚线终止于两个临界点，而用于描述该临界点附近复物理量的理论是一个central charge为-22/5的2维共形场论，叫非幺正minimal model.
因此拉普拉斯变换在研究3维纯量子引力（不含费米物质）特别是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相变的时候，经常出现在半经典近似中，因为如果假设AdS/CFT成立，复化的热力学量既属于2维渐进边界上的引力边界条件，也是边界2维共形场论的参数。可以参照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten里（5.7）式附近把拉普拉斯逆变换写成拉普拉斯变换了）。
PS： Lee-Yang的原文里只考虑了复化的外磁场和化学势，叫做field-driven transition；复温度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一个nontrivial的推广，注意不要和有限温度场论中的虚时间混淆。
数学上，其实把拉普拉斯变换看成Borel变换的推广比看成是傅里叶变换的推广更合适，因为后者的指数上也没有虚数单位，专治非收敛级数，这和拉普拉斯变换代替傅里叶变换处理非收敛信号有异曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微扰量子场论和弦论的resurgent analysis里火得不行呀
